eJurnal MATRIKS TEKNIK SIPIL/ JUNI 2013/158 Penelitian ini mengambil studi kasus proyek pembangunan Hotel Eastparc yang terletak di Jl. Kapas No. 1, Sleman, Yogyakarta, dengan rencana anggaran biaya Rp. 34,441,761,000.00. Studi menggunakan metode analisis nilai hasil (Earned Value Analysis) . StrukturPendapatan dan Biaya Hotel. Pendapatan hotel bersumber dari penjualan kamar, makanan, minuman, dan pendapatan lain (biasa disebut minor operated department sales, seperti telepon, cucian, dry cleaning, kolam renang, dan sebagainya). Sedangkan biaya-biaya dan harga pokok terjadi untuk biaya bahan dipakai habis di setiap bagian hotel Caranyaoleskan madu dimuka minimal seminggu dua kali. 2. Cuci wajah 2X Sehari. Setelah seharian beraktivitas, pastinya yang namanya debu, polusi dan bakteri udah menempel diwajah. Gunakan sabun antijerawat untuk mencuci muka setiap pagi dan sore hari. Pilih yang bahan dasarnya belerang. cash. Kelas 11 SMAMatriksPenyelesaian Persamaan Linear Dua atau Tiga Variabel dengan Menggunakan Konsep MatriksAgen perjalanan "Lombok Menawan" menawarkan paket perjalanan wisata seperti tabel di bawah ini Paket I Paket II Sewa Hotel 5 6 Tempat Wisata 4 5 Biaya Total Bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya hotel tiap malam dan biaya satu tempat satu tempat wisata adalah ....Penyelesaian Persamaan Linear Dua atau Tiga Variabel dengan Menggunakan Konsep MatriksMatriksALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0107Himpunan penyelesaian persamaan polinomial x^3+x^2-4x-4=0...0544Bu Ani adalah seorang pengusaha makanan ringan yang menye...0326Tentukan nilai x dan y demikian sehingga a. x 10=3 x+...0756Harga 4 kg salak, 1 kg jambu, dan 2 kg kelengkeng adalah ...Teks videoHalo governance di sini kita punya soal mengenai aplikasi matriks dari persamaan linear dua variabel berbentuk soal cerita pertama kita akan membuat persamaan linear dari tabel ini Dengan menyebarkan biaya sewa hotel dengan dan biaya tempat wisata dengan y untuk pakai pertama total biaya Hotel 5 malam dan 305 x ditambah 4 tempat wisata adalah 4 y = 3 juta kemudian Kapal Api 2 biaya sewa hotel 6 malam ditambah 5 tempat wisata = 3 juta rupiah kayaknya di sini kita bisa membentuk matriksnya menjadi ada 3 matriks seperti ini 12 = matriks 3. Nama titik pertama ini berisi koefisien variabel yang diatas secara berurutan pastikan variabel sejajar dulu X dan Y sehingga posisinya sama juga ya 5465 seperti ini yang di atas kemudian matriks 2 isinya variabel secara berurutan atas bawah sini nanti kalau misalnya kita kalikan akan mendapat persamaan Seperti di atas kemudian matriks terakhir kita isi dengan konstanta atau hasilnya dengan menggunakan invers matriks kita bisa pindahkan matriks yang pertama ini ke ruas kanan sehingga kita mendapatkan ekstensinya sehingga x y = matriks 5 4 6 5 invers dikalikan dengan matriks dan tiga juta oke, di sini aku punya rumus invers matriks yaitu seperti ini Sehingga tinggal kita masukkan aja X dan Y = 1 per A min b c berarti 5 dikali 5 dikurang 6 dikali 425 dikurang 24 dikali D dananya posisinya dibalik kemudian B dan C diberi negatif kemudian dikali dengan matriks 3 juta seratus ribu dan 3 juta Karena 1 per 25 dikurang 24 = 1 Sisanya adalah matriks yang ini sehingga jawaban yang sesuai yang cocok adalah D Oke sampai jumpa dilain soalSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul This research was conducted with purpose to compare the determination of hotel room rates by determining the cost of production issued by the company, in determining existing hotel room rates. The hotel company, named the Hotel Sapadia Kotamobagu. In this study the determination of hotel room rates will use the Activity Based Costing ABC method as a comparison with the room rates determination method used by the Sapadia hotel company. ABC Method Improves the accuracy of calculating goods cost by determining how much the overhead cost remain different in comparison to change other than based on production volume. The cost driver is one of the ABC elements which explain the overhead cost. Discover the world's research25+ million members160+ million publication billion citationsJoin for free Rendy Julian David, Ventje Ilat, Jenny Morasa, 103-109 103 INDONESIA ACCOUNTING JOURNAL Volume 2, NUMBER 2, YEAR 2020 1Corresponding author Jurusan Akuntansi Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Sam Ratulangi Jl. Kampus UNSRAT Manado, Indonesia, 95115E-mail rendyrjd11 2,3Jurusan Akuntansi Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Sam Ratulangi Jl. Kampus UNSRAT Manado, Indonesia, 95115Article info Received 29 J anuary 2020 Accepted 30 Ja nuary 2020 Available online 30 January 2020 Keywords room rates; goods cost; activity based costing; overhead cost; cost driverJEL Classification M12, M41DOI Perhitungan tarif kamar hotel menggunakan activity based costing pada Hotel Sapadia Kotamobagu Rendy Julian David1 Ventje Ilat2 Jenny Morasa3 Abstract This research was conducted with purpose to compare the determination of hotel room rates by determining the cost of production issued by the company, in determining existing hotel room rates. The hotel company, named the Hotel Sapadia Kotamobagu. In this study the determination of hotel room rates will use the Activity Based Costing ABC method as a comparison with the room rates determination method used by the Sapadia hotel company. ABC Method Improves the accuracy of calculating goods cost by determining how much the overhead cost remain different in comparison to change other than based on production volume. The cost driver is one of the ABC elements which explain the overhead cost. Pendahuluan Menurut Kartikahadi 2016, akuntansi merupakan sistem informasi keuangan yang bertujuan menghasilkan dan melaporkan informasi relevan untuk pihak berkepentingan. Menurut Suwardjono 2016, akuntansi dalam arti sempit sebagai proses, fungsi, dan praktik. Akuntansi didefinisikan sebagai proses identifikasi, pengesahan, pengukuran, peringkasan, dan penyajian data keuangan dasar bahan olahan akuntansi yang terdiri dari kejadian-kejadian, transaksi-transaksi, atau kegiatan operasi suatu unit organisasi, dengan cara tertentu untuk menghasilkan informasi yang relevan bagi pihak yang berkepentingan, sehingga dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa akuntansi merupakan suatu proses indentifikasi, pencatatan, dan juga pengkomunikasian hasil akhir yang berwujud laporan keuangan untuk mencerminkan kondisi dari perusahaan terhadap berbagai pihak yang berkepentingan. Pada saat ini perusahaan penyedia jasa seperti hotel dan penginapan sedang berkembang pesat. Seiring dengan bertumbuhnya tempat pariwisata di daerah–daerah, sehingga membuat peluang usaha bisnis perhotelan juga semakin berkembang. Berkembangnya bisnis perhotelan juga berdampak pada risiko dan persaingan dalam industri perhotelan sehingga hal ini memerlukan strategi yang tepat dalam menjalankan bisnis perhotelan. Pihak manajemen hotel dituntut untuk dapat mengelola hotel agar dapat memberikan laba semaksimal mungkin sehingga dapat maju dan berkembangnya perusahaan hotel di kemudian hari. Penerapan akuntansi manajemen pada bisnis hotel juga disesuaikan dengan keunikan Rendy Julian David, Ventje Ilat, Jenny Morasa, 103-109 104 bisnis hotel tersebut. Menurut Wiyasha 2014, akuntansi keuangan hotel merupakan akuntansi keuangan yang diterapkan di industri perhotelan. Setiap industri memiliki keunikan tersendiri business peculiarities dalam operasionalnya. Keunikan itu menyebabkan setiap industri memerlukan penanganan akuntansi keuangan yang juga unik. Pada industri perhotelan, perputaran transaksi yang terjadi relatif cepat dibandingkan perputaran transaksi pada industri lain namun dengan nominal yang relatif kecil pada setiap transaksinya. Dilihat dalam berbagai aspek, penentuan tarif kamar hotel sangat penting dalam kelangsungan keberhasilan hotel dalam persaingan di perindustrian jasa perhotelan. Hotel dapat digolongkan dalam industri penyedia jasa karena hotel menawarkan pelayanan jasa berupa akomodasi, konsumsi, rekreasi. Pada produk jasa sesungguhnya konsumen tidak membeli barang atau jasa, tetapi manfaat dan nilai dari sesuatu yang ditawarkan. Menurut Hurriyati 2010, produk adalah sekumpulan nilai kepuasan yang kompleks, nilai ditentukan oleh pembeli berdasarkan manfaat apa yang akan terima dari produk tersebut. Hotel mempunyai kewajiban memberikan pelayanan yang memuaskan untuk para konsumen yang berkunjung. Diperlukan penetapan harga yang sesuai dengan pelayanan jasa yang diberikan dari hotel tersebut, agar tidak terjadi ketidakpuasan dari konsumen karena tidak sesuainya tarif kamar hotel dengan pelayanan yang diberikan. Setiap hotel mempunyai tujuan yang sama yaitu, meningkatkan penjualan kamar agar dapat menutup biaya produksi jasa dan pelayanan yang diberikan dan mendapatkan laba yang maksimum. Penetapan harga tarif yang sesuai, memungkinkan persentase penjualan kamar akan naik. Penentuan tarif kamar membutuhkan informasi biaya–biaya yang dikeluarkan dalam produksi secara akurat. Pengalokasian biaya-biaya harus secara merata agar perusahaan hotel dapat menetapkan harga yang tepat dan dapat kompetitif dalam persaingan perindustrian hotel. Tinjauan pustaka Masalah kebijaksanaan penetapan harga merupakan hal yang kompleks dan rumit. Dibutuhkan pendekatan yang sistematis, yang melibatkan penetapan tujuan dan mengembangkan suatu struktur penetapan harga yang tepat. Menurut Tjiptono 2012, harga adalah satuan moneter atau ukuran yang juga termasuk barang dan jasa lainnya yang ditukarkan agar memperoleh hak kepemilikan atau pengguna suatu barang dan jasa. Berdasarkan beberapa pengertian di atas maka dapat disimpulkan bahwa harga merupakan keseluruhan nilai suatu barang maupun jasa yang diberikan dalam bentuk uang. Menurut Salman dan Farid 2016, ada 2 dua jenis luaran yang menggambarkan obyek terpenting dari obyek yaitu produk berwujud dan jasa juga perbedaannya yaitu - Produk berwujud adalah barang yang dihasilkan dengan mengubah bahan baku melalui penggunaan tenaga kerja dan masukan input modal, pabrik, lahan, peralatan dan mesin. - Jasa adalah tugas atau aktivitas yang dilakukan bagi pelanggan tertentu, aktivitas atau tugas yang dilakukan oleh pelanggan dengan menggunakan organisasi. Perbedaan produk berwujud dan jasa dapat dilihat dalam 4 empat hal penting, yaitu - Ketidakberwujudan berarti pembeli jasa tidak dapat melihat, meraba dan mendengar atau pun mencicipi jasa tersebut sebelum dibeli. - Tidak tahan lama berarti bahwa jasa tidak dapat disimpan untuk digunakan di masa depan oleh pelanggan. - Tidak dapat dipisahkan berarti produsen dan pembeli harus melakukan pembayaran langsung pada saat transaksi pertukaran terjadi. Menurut Tjiptono 2012, tujuan penetapan harga adalah Rendy Julian David, Ventje Ilat, Jenny Morasa, 103-109 105 1. Berorientasi laba yaitu bahwa setiap perusahaan selalu memilih harga yang dapat menghasilkan laba yang paling tinggi. 2. Berorientasi pada volume yaitu penetapan harga berorientasi pada volume tertentu. 3. Berorientasi pada citra image yaitu bahwa citra perusahaan dapat dibentuk melalui harga. 4. Stabilisasi harga yaitu penetapan harga yang bertujuan untuk mempertahankan hubungan yang stabil antara harga perusahaan dengan harga pemimpin pasar market leader. 5. Tujuan lainnya yaitu menetapkan harga dengan tujuan mencegah masuknya pesaing, mempertahankan loyalitas konsumen, mendukung penjualan ulang atau menghindari campur tangan pemerintah. Sedangkan menurut Kotler dan Keller 2016491, terdapat beberapa tujuan penetapan harga, antara lain 1 kemampuan bertahan survival; 2 laba maksimum saat ini maximum current profit; 3 pangsa pasar maksimum maximum market share; 4 pemerahan pasar maksimum maximum market skimming; 5 kepemimpinan kualitas produk product- quality leadership; dan 6 tujuan-tujuan lainnya other obejctives. Adapun menurut Assauri 2009, pada dasarnya ada 4 empat tujuan utama penetapan harga atau tarif di hotel, yaitu 1 maksimisasi keuntungan; 2 maksimisasi pengembalian investasi; 3 survival; dan 4 volume penjualan. Menurut Hansen dan Mowen 200960, menyatakan harga pokok produksi mencerminkan total biaya barang yang diselesaikan selama periode berjalan, harga pokok produksi juga disebut biaya produksi. Definisi dan tujuan biaya overhead pabrik menurut Sujarweni 2019, semua biaya produksi selain biaya bahan baku langsung dan biaya tenaga kerja langsung. Adapun tujuan BOP adalah sebagai berikut dapat mengetahui pengguanaan biaya secara lebih efisien dan efektif, dapat menentukan harga pokok produk secara lebih tepat, dapat mengetahui alokasi BOP sesuai departemen tempat biaya dibebankan, dan untuk alat mengawasi BOP. Menurut Mulyadi 2014, penggolongan aktivitas untuk membuat dan menjual produk digolongkan dalam 4 empat kelompok, yaitu 1. Unit-level activity cost, biaya ini dipengaruhi oleh jumlah unit produk yang dihasilkan. Biaya bahan baku, biaya tenaga kerja langsung, biaya energi, dan biaya angkutan adalah contoh biaya yang termasuk dalam golongan ini. Biaya ini dibebankan kepada produk berdasarkan jumlah unit produk yang dihasilkan. 2. Batch-level activity cost, biaya ini berhubungan dengan jumlah batch produk yang diproduksi. Setup costs, yang merupakan biaya yang dikeluarkan untuk menyiapkan mesin dan peralatan sebelum suatu order produksi diproses, biaya angkutan bahan baku dalam pabrik, biaya inspeksi, biaya order pembelian adalah contoh biaya yang termasuk dalam golongan ini. Besar kecilnya biaya ini tergantung dari frekuensi order produksi yang diolah dari fungsi produksi. Biaya ini tidak dipengaruhi oleh jumlah unit produk yang di produksi dalam setiap order produksi. 3. Product-sustaining activity costs, biaya ini berhubungan dengan penelitian dan pengembangan produk tertentu dan biaya-biaya untuk mempertahankan produk agar tetap dapat dipasarkan. Biaya ini tidak terpengaruh oleh jumlah unit produk yang di produksi dan jumlah batch produksi yang dilaksanakan oleh divisi penjual. Contoh biaya ini adalah biaya desain produk, desain proses pengolahan produk, pengujian produk. Biaya ini dibebankan kepada produk berdasarkan taksiran jumlah unit produk tertentu yang akan dihasilkan selama umur produk tersebut 4. Facility-sustaining activity costs, biaya ini berhubungan dengan kegiatan untuk mempertahankan kapasitas yang dimiliki oleh perusahaan. Biaya depresiasi dan amortisasi, biaya asuransi, biaya gaji karyawan adalah jenis biaya yang termasuk dalam golongan facility-sustaining activity Rendy Julian David, Ventje Ilat, Jenny Morasa, 103-109 106 costs. Biaya ini di bebankan kepada produk atas dasar taksiran unit produk yang dihasilkan pada kapasitas normal divisi penjual Kristiani et al. 2015, penggunaan metode activity based costing dalam perhitungan harga kamar akan menghasilkan harga pokok kamar yang akurat, karena biaya-biaya yang terjadi dibebankan pada produk atas dasar aktivitas dan sumber daya yang dikonsumsikan oleh produk dan juga menggunakan dasar lebih dari satu cost driver. Menurut Siby et al. 2018, perbedaan antara harga pokok kamar yang di tentukan oleh manajemen hotel dan penerapan acitivity based costing system. Penggunaan metode activity based costing dalam perhitungan harga pokok menghasilkan harga pokok kamar yang lebih akurat, hal ini dikarenakan biaya-biaya yang terjadi dibebankan pada produk atas dasar aktivitas dan menggunakan lebih dari satu cost driver. Menurut Haneda dan Azizah 2018, harga pokok yang telah ditetapkan oleh pihak manajemen Hasanah Buring, ditentukan dengan mengalokasikan biaya operasional yang terjadi pada setiap tipe kamar dengan persentase pendapatan. Menurut Poandy 2017, hasil dari perhitungan harga pokok menggunakan activity based costing yaitu, untuk kamar superior sebesar Rp. untuk kamar deluxe sebesar Rp. untuk kamar premier sebesar Rp. untuk kamar junior suite sebesar Rp. untuk kamar Executive suite sebesar Rp. dan untuk kamar president suite sebesar Rp. Menurut Manein et al. 2020, berdasarkan perhitungan harga pokok produksi dengan metode full costing diperoleh harga pokok produksi lebih rendah yaitu Rp. dan terdapat selisih Perhitungan yang digunakan oleh perusahaan memiliki hasil yang berbeda dengan perhitungan berdasarkan metode full costing, dimana pengeluaran untuk biaya produksi berdasarkan metode full costing jauh lebih murah dibandingkan dengan perhitungan yang dibuat oleh perusahaan. Menurut Pinontoan et al. 2020, UMKM Gilingan Padi Mekar Sari Desa Kosio Kecamatan Dumoga Tengah tidak memiliki perincian biaya secara terstruktur serta tidak menerapkan informasi akuntansi diferensial yang dapat dipakai sebagai bahan pertimbangan untuk setiap pengambilan keputusan menerima atau menolak pesanan khusus sehingga berdasarkan perbandingan perhitungan produksi reguler dan perhitungan pesanan khusus menggunakan informasi akuntansi diferensial UMKM Gilingan Padi Mekar Sari dalam menerima pesanan khusus atas kedua produk yaitu beras superwin dan beras ciherang akan mendapatkan tambahan total laba diferensial sebesar Rp Metode penelitian Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode penelitian kualitatif dengan pendekatan analisis komparatif, yang dilakukan dengan cara mengumpulkan data yang berhubungan dengan permasalah yang dihadapi. Data merupakan informasi laporan keuangan hotel yang berguna untuk menetapkan suatu tarif kamar hotel. Jenis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data kualitatif yang merupakan data yang disajikan dalam bentuk uraian, data ini merupakan gambaran umum perusahaan. Sumber data dalam penelitian ini adalah data primer yaitu laporan keuangan 2018 yang diperoleh secara langsung didapatkan dari perusahaan hotel Sapadia Kotamobagu. Metode pengumpulan data yang digunakan adalah wawancara, observasi, dokumentasi. Tahap-tahap dalam penerapan ABC adalah sebagai berikut a. Mengidentifikasikan aktivitas-aktivitas. Pengindentifikasian aktivitas-aktivitas menghendaki adanya daftar jenis-jenis pekerjaan yang terdapat dalam perusahaan yang berkaitan dengan proses produksi. b. Membebankan biaya ke aktivitas-aktivitas. Setiap kali suatu aktivitas ditetapkan, maka biaya pelaksanaan aktivitas tersebut ditentukan. Rendy Julian David, Ventje Ilat, Jenny Morasa, 103-109 107 c. Menentukan activity driver. Langkah berikutnya adalah menentukan activity driver untuk masing-masing aktivitas yang merupakan faktor penyebab pengendali dari aktivitas-aktivitas tersebut. d. Menentukan tarif. Dalam menentukan tarif ini, total biaya dari setiap aktivitas dibagi dengan total activity driver yang digunakan untuk aktivitas tersebut. e. Membebankan biaya ke produk. Langkah selanjutnya adalah mengalikan tarif yang diperoleh untuk setiap aktivitas tersebut dengan activity driver yang dikonsumsi oleh tiap-tiap jenis produk yang diproduksi kemudian membaginya dengan jumlah unit yang diproduksi untuk tiap produk Pembahasan Tabel 1 menunjukkan bahwa pada Hotel Sapadia terdapat 5 jenis kamar yaitu, Deluxe Cottages, New Deluxe, Grand Deluxe, Superior Cottages, Executive, Al Capone Vip. Hotel Sapadia Kotamobagu menggunakan metode konvensional yaitu dengan cara menghitung biaya-biaya umum. Dari biaya-biaya umum ini akan di dapatkan harga pokok produksi per unit kamar dan menentukan harga jual per unit kamar dengan mengambil laba 10 % dari harga pokok kamar. Tabel 1. Daftar harga kamar Hotel Sapadia 2018 Sumber Hotel Sapadia, 2019 Harga kamar yang ditentukan oleh pihak hotel Sapadia sudah termasuk pajak dan service yang dikenakan pihak hotel kepada pertama yang akan dilakukan adalah dengan mengindentifikasi aktivitas-aktivitas yang mengakibatkan terjadinya biaya pada hotel Sapadia seperti yang disajikan pada Tabel 2. Biaya Pemeliharaan dan Perawatan Sumber Data diolah, 2019 Setelah aktivitas-aktivitas pada hotel telah ditentukan berikutnya mengelompokan kedalam dua level aktivitas yang berbeda yaitu tingkat aktivitas unit, dan tingkat aktivitas fasilitas seperti yang ditunjukkan pada Tabel 3. Biaya Pemeliharaan dan Perawatan Sumber Data diolah, 2019 Tabel 4 menunjukkan cara menentukan Cost Driver dari setiap aktivitas-aktivitas yang sudah ditentukan di tahap sebelumnya. Biaya Pemeliharaan dan Perawatan Sumber Data diolah, 2019 Rendy Julian David, Ventje Ilat, Jenny Morasa, 103-109 108 Setelah mengidentifikasi cost driver dan costpool, tahap selanjutnya menentukan tarif cost driver pe unit seperti yang ditunjukkan pada Tabel 5. Tarif cost driver per unit dapat ditentukan dengan menggunakan rumus seperti berikut Tarif per unit cost driver Membebankan biaya ke produk, dilakukan dengan cara menggunakan tarif yang digunakan oleh setiap produk. Biaya overhead dibebankan dapat dihitung dengan mengalikan tarif kelompok dan unit cost driver. Tabel 5. Tarif per unit cost driver Rp.Sumber Data diolah, 2019 Tabel 6 menunjukkan penetapan tarif kamar hotel Sapadia Kotamobagu dengan menggunakan tingkat persentase keuntungan yang diharapkan dan ditentukan oleh pihak hotel, yaitu laba yang diinginkan adalah 10% dari harga pokok produksi per kamar. Maka untuk menentukan tarif kamar hotel yaitu dengan menambahkan 10% dari harga pokok produksi kamar yang di dapatkan dengan metode activity based costing, sehingga mendapatkan tarif kamar. Tabel 6. Penentuan tarif kamar hotel Sumber Data diolah, 2019 Pembahasan Berdasarkan perhitungan diatas, didapatkan bahwa harga pokok kamar setelah menggunakan Activity Based Costing System pada jenis kamar Deluxe Cottages sebesar Rp. 179,097 pada kamar New Deluxe Cottages Rp. 203,153 pada kamar Grand Deluxe Cottages Rp. 164,086 pada kamar Superior Rp. 140,113 pada kamar Executive Rp. 140,015 dan pada kamar Al Capone Vip sebesar Rp. 269,873. Dari perhitungan yang telah dilakukan diatas terdapat perbedaan yang sangat terlihat dengan perhitungan harga pokok kamar yang dilakukan oleh hotel Sapadia dengan metode Activity Based Costing. Pada metode Activity Based Costing tipe kamar secara keseluruhan Deluxe Cottages, New Deluxe Cottages, Grand Deluxe Cottages, Superior, Executive dan Al Capone Vip lebih rendah dari perhitungan harga pokoks yang dihitung oleh hotel. Terdapat selisih harga yaitu untuk kamar Deluxe Cottages sebesar Rp. 20,903, pada kamar Grand Deluxe Cottages sebesar Rp. 40,914, pada kamar tipe Superior Rp. 129,887, pada kamar tipe Executive sebesar Rp. 140,015, dan untuk kamar Al Capone Vip sebesar Rp. 315,127. Terlihat bahwa keseluruhan perhitungan menggunakan metode activity based costing mendapatkan bahwa harga pokok per tipe kamar hasilnya adalah understate atau dibawah dari perhitungan harga pokok yang dilakukan oleh hotel. Hal ini bisa terjadi dikarenakan hotel Sapadia memasukan dan membebankan semua biaya operasi aktivitas yang dilakukan diluar dari aktivitas produksi kamar. Sedangkan pada metode activity based costing, biaya pada proses produksi dibebankan pada cost driver sesuai dengan aktivitas yang digunakan, sehingga terjadi distorsi atau overstate atau melebihi pada perhitungan harga pokok yang dilakukan oleh hotel. Kesimpulan dan saran Kesimpulan Berdasarkan hasil perhitungan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan bahwa Rendy Julian David, Ventje Ilat, Jenny Morasa, 103-109 109 1. Adanya perbedaan perhitungan harga pokok kamar yang dilakukan oleh pihak Hotel Sapadia Kotamobagu dengan penerapan metode activity based costing. 2. Penetapan tarif kamar hotel yang di hitung dengan menambahkan 10% dari harga pokok yang didapatkan dan mendapatkan harga jual atau tarif kamar yaitu, untuk kamar Deluxe Cottages Rp. 197,006, New Deluxe Cottages Rp. 223,468, Grand Deluxe Cottages Rp. 180,494, Superior Rp. 154,124, Executive Rp. 154,016, dan Al Capone Vip Rp. 296,860 Saran Berdasarkan kesimpulan diatas maka saran yang bisa diberikan dari penelitian ini adalah pihak hotel untuk mempertimbangkan penggunaan metode activity based costing dalam menentukan harga pokok kamar sehingga dapat menentukan tarif kamar hotel yang lebih tepat dan untuk bisa dapat bersaing dalam usaha perindustrian hotel di kota Kotamobagu. Daftar pustaka Assauri, S. 2009. Manajemen pemasaran Konsep dasar dan strategi. Edisi Pertama. Jakarta PT Raja Grafindo Persada. Haneda, N., & Azizah, D. F. 2018. Analisis perhitungan harga pokok sewa kamar dengan activity based costing system ABC system Studi pada Guest House Hasanah Buring Malang. Jurnal Administrasi Bisnis JAB. 561, 48-56. http// Hansen, D. R., & Mowen, M. M. 2009. Akuntansi manajerial, Edisi ke-8. Jakarta Salemba Empat. Hurriyati, R. 2010. Bauran pemasaran dan loyalitas konsumen. Bandung Alfabeta. Kartikahadi, H., Sinaga R. U., Syamsul, M., & Siregar, S. V. 2016. Akuntansi keuangan berdasarkan SAK berbasis IFRS buku 1 Edisi ke-2. Jakarta Salemba Empat. Kotler, P., & Keller, K. L. 2016. Manajemen pemasaran, Edisi 13 Jilid 2. Jakarta Erlangga. Kristiani, I., Asmapane, S., & Khairin, F. 2015. Penentuan tarif jasa kamar hotel dengan metode activity based costing system pada Hotel Grand Victoria di Samarinda. Akuntabel. 122, Manein, J., Saerang, D., & Runtu, T. 2020. Penentuan harga pokok produksi dengan menggunakan metode full costing pada Pembuatan Rumah Kayu Studi kasus pada CV. Rajawali Tunggal Perkasa- Woloan 1 Utara. Indonesia Accounting Journal, 21, 37-43. doi Mulyadi. 2014. Sistem akuntansi, Cetakan 4. Jakarta Salemba Empat. Pinontoan, R., Pangemanan, S., & Runtu, T. 2020. Penerapan informasi akuntansi diferensial dalam pengambilan keputusan manajemen pada UMKM Gilingan Padi Mekar Sari Desa Kosio Kecamatan Dumoga Tengah. Indonesia Accounting Journal, 21, 30-36. Poandy, J. 2017. Analisis penerapan activity based costing system dalam menentukan harga pokok kamar pada The Belagri Hotel and Convention Sorong. Jurnal Pitis AKP JPA. 11, 1-10. Salman, K. R., & Farid, M. 2016. Akuntansi manajemen. Jakarta Indeks. Siby, S., Ilat, V., & Kalalo, Y. B. M., 2018. Penerapan activity based costing systerm dalam menentukan harga pokok kamar hotel studi pada Hotel Green Eden Manado. Going Concern Jurnal Riset Akuntansi, 132,140-148. Sujarweni, V. W. 2019. Akuntansi biaya Teori dan penerapannya. Yogyakarta Pustaka Baru Press. Suwardjono, 2016. Teori akuntansi Perekayasaan pelaporan keuangan, Edisi ke-3. Yogyakarta Badan Penerbit Fakultas Ekonomi. Tjiptono, F. 2012. Pemasaran jasa, Edisi pertama. Yogyakarta Bayumedia Publishing. Wiyasha, I. B. M. 2014. Akuntansi manajemen untuk Hotel dan Restoran, Edisi ke-2. Yogyakarta Andi Yogyakarta. ResearchGate has not been able to resolve any citations for this Olviana Manein David P. E. SaerangTreesje RuntuThe main cost of production was a direct and indirect amount of expenses and burdens, to produce goods or services under the right conditions and conditions for which they could be used or sold. This research was done on the CV Rajawali Tunggal Perkasa of a lumber company. The purpose of this study is to know how much profit is gained a measure of both income and sacrifice made. The kind of data used is qualitative data and the source data is the primary data. Results from studies indicate that the calculation of the principal production value to a CV Rajawali Tunggal Perkasa with a tally on the cost of production using the method full error indicates the difference of results. Based on the research, the main cost of production is based on the full yield method better at analyzing the cost of production, it is due to the calculation of principal prices of production by the full income method, not including the cost of administration and the cost of the car's rent into overhead, since those costs are a component of the company's profit assessment Firelsa PinontoanSifrid Sonny PangemananTreesje RuntuDifferential accounting information is one of the information needed by the management of a company in planning and decision making, especially accept or reject for special orders, which will help management in this case UMKM Gilingan Padi Mekar Sari which often get special orders. The purpose of this study was to determine the application of differential accounting information in the decision to accept or reject special orders to produce superwin rice and ciherang rice types at UMKM Gilingan Padi Mekar Sari. The method used in this research is descriptive qualitative. The results of this study can be seen based on the comparative calculation of regular production and special order production using the differential accounting information of the UMKM Gilingan Padi Mekar Sari in receiving special orders for both products namely superwin rice and ciherang rice will get an additional total differential profit of Rp Therefore, the use of differential accounting information is needed in the decision to accept or reject special POANDYThe Belagri Hotel and Convention Sorong merupakan perusahaan jasa yang bergerakdibidang penyediaan jasa penginapan, makan dan minum serta fasilitas lain. Perusahaanmenerapkan sistem Activity Based Costing adalah metode penentuan harga yang menelusur biaya ke aktivitas, kemudian ke produk. Metode Activity Based Costing dinilai lebih akurat dalam membebankan biaya overhead kepada produk karena menggunakan lebih dari satu cost driver. Sehingga biaya overhead yang dialokasikan akan lebih proporsional. Tetapi dalam penerapan Activity Based Costing System ABC pada perusahaan ada beberapa biaya yang dapat menimbulkan aktivitas tidak dimasukkan dalam penentuan harga pokok produksi kamar. Hasil penelitian menunjukkan terdapat selisih harga yang lebih tinggi dari penetapan harga manajemen hotel dengan hasil perhitungan yaitu, untuk kamar Superior sebesar Rp untuk kamar Deluxe sebesar Rp untuk kamar Premier sebesar Rp untuk kamar Junior Suite sebesar Rp untuk kamar Executive Suite sebesar Rp dan untuk kamar President Suite sebesar Rp Estereniy SibyVentje IlatMeily Y. B. KalaloThe Activity of Based Costing ABC Method is a simple calculation to determine the cost of price / services to explain that the activity were the reason one to make rise the cost of the products, and products that consume hotel can use Activity Based Costing ABC System Method to determine hotel room rate because when they use the Activity economic method in detail, the quality of decision can be improve to be better and making more accurate. The purpose of this research is “to obtain the accurate information about Activity Based Costing” in counting the cost calculation rooms Hotel Green Eden Manado since from June, July, and August 2017. The method of analysis that I used is “Descriptive Analysis Method”, by conducting to interview to the hotel manager and doing the data collection regarding the costs and amounts of fees. Based on the analysis, there are find that Activity Based Costing System for the month of June. Superior room type, Deluxe room and Suite resulted that the cost of price rooms were lower to compared with the cost by hotel management. For July the calculation of the cost Superior room type was higher than the cost of calculated by the management Hotel. And for the type of Deluxe rooms and Suite rooms were lower to compared with the cost by the Hotel. And for the month of August the calculation for Superior, Suite, and Deluxe rooms resulted that the cost were higher than the cost calculation used by The Hotel Activity Based Costing, The cost of pemasaran Konsep dasar dan strategi. Edisi Pertama. Jakarta PT Raja Grafindo PersadaS AssauriAssauri, S. 2009. Manajemen pemasaran Konsep dasar dan strategi. Edisi Pertama. Jakarta PT Raja Grafindo perhitungan harga pokok sewa kamar dengan activity based costing system ABC system Studi pada Guest House Hasanah Buring MalangN HanedaD F AzizahHaneda, N., & Azizah, D. F. 2018. Analisis perhitungan harga pokok sewa kamar dengan activity based costing system ABC system Studi pada Guest House Hasanah Buring Malang. Jurnal Administrasi Bisnis JAB. 561, 48-56. http// manajerial, Edisi ke-8D R HansenM M MowenHansen, D. R., & Mowen, M. M. 2009. Akuntansi manajerial, Edisi ke-8. Jakarta Salemba pemasaran dan loyalitas konsumenR HurriyatiHurriyati, R. 2010. Bauran pemasaran dan loyalitas konsumen. Bandung tarif jasa kamar hotel dengan metode activity based costing system pada Hotel Grand Victoria di SamarindaI KristianiS AsmapaneF KhairinKristiani, I., Asmapane, S., & Khairin, F. 2015. Penentuan tarif jasa kamar hotel dengan metode activity based costing system pada Hotel Grand Victoria di Samarinda. Akuntabel. 122, TABEL/article/view/25Sistem akuntansi, Cetakan 4. Jakarta Salemba EmpatMulyadiMulyadi. 2014. Sistem akuntansi, Cetakan 4. Jakarta Salemba Empat. belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks. Matriks menjadi salah satu topik yang paling banyak disenangi The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Matriks. Matriks menjadi salah satu topik yang paling banyak disenangi oleh siswa, karena untuk belajar matriks hanya butuh sedikit ketelitian dan kesabaran. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada matriks juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal matriks dan menemukan solusinya. Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa "$\ \ $" atau kurung siku "$[\ \ ]$". Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Umumnya penamaan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya $A,\ B,\ C,\ D, \cdots $ dan seterusnya. SOAL DAN PEMBAHASAN MATRIKS Soal-soal yang berkembang pada matriks sering juga dikaitkan dengan materi matematika lainnya, seperti Eksponen, Bentuk Akar, Logaritma, Trigonometri, dan materi lainnya berpeluang dikaitkan dengan matriks. Soal berikut yang kita diskusikan kita sadur dari soal-soal SBMPTN Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri atau SMMPTN Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri dan UN Ujian Nasional. 1. Soal SIMAK UI 2013 kode 333 *Soal LengkapSebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$. Jika diketahui $\begin{bmatrix} a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c \end{bmatrix}$ adalah matriks ortogonal, $a^{2}+b^{2}+c^{2}=...$ $\begin{align} A\ & -1 \\ B\ & 0 \\ C\ & \dfrac{1}{9} \\ D\ & \dfrac{4}{9} \\ E\ & 1 \end{align}$ Alternatif PembahasanSekilas untuk mengerjakan soal di atas, kita harus menghitung invers matriks $3\times3$ lalu kita samakan dengan transpose matriks sesuai dengan yang didefenisikan sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika $A^{-1}=A^{T}$. Tetapi untuk anak SMA, menentukan invers matriks $3\times3$ adalah masalah baru. Untuk menghindari tercipta masalah baru, kita coba menyelesaikan soal di atas dengan sedikit eksplorasi dan mengikuti defenisi matriks ortogonal yaitu $A^{-1}=A^{T}$. Eksplorasi yang kita lakukan yaitu $\begin{align} A^{-1} &= A^{T} \\ & \text{*kalikan dengan matriks A} \\ A \times A^{-1} &= A \times A^{T} \\ I & = A \times A^{T} \end{align}$ Sehingga kita peroleh persamaan; $\begin{bmatrix} a& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& c \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} a & \frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& b& -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& \frac{1}{3}& c \end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$ dari perkalian matriks di atas dapat kita peroleh persamaan sebagai berikut; $a^{2}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}=1 \cdots \left pers. 1 \right $ $\dfrac{4}{9}+b^{2}+\dfrac{1}{9}=1 \cdots \left pers. 2 \right $ $\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+c^{2}=1 \cdots \left pers. 3 \right $ Apabila persamaan $\left 1 \right $,$\left 2 \right $, dan $\left 3 \right $ kita jumlahkan, maka akan kita peroleh persamaan berikut; $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{18}{9}=3$ $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 1$2. Soal SIMAK UI 2013 kode 333 *Soal LengkapJika $A=\begin{bmatrix} 4&3\\ 2&5 \end{bmatrix}$ dan $A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ maka $x+y=...$ $\begin{align} A\ & 9 \\ B\ & 14 \\ C\ & 19 \\ D\ & 23 \\ E\ & 25 \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk mencoba menyelesaikan masalah diatas, bisa kita lakukan dengan mengerjakan sedikit demi sedikit apa yang dibutuhkan, $A^{2}=A\times A$ $A^{2}=\begin{bmatrix} 4&3\\ 2&5 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 4&3\\ 2&5 \end{bmatrix}$ $A^{2}=\begin{bmatrix} 22&27\\ 18&31 \end{bmatrix}$ $xA=\begin{bmatrix} 4x&3x\\ 2x&5x \end{bmatrix}$ $yI=\begin{bmatrix} y&0\\ 0&y \end{bmatrix}$ Apa yang sudah kita ketahui diatas kita substitusi ke persamaan $A^{2}-xA+yI=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 22&27\\ 18&31 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4x&3x\\ 2x&5x \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} y&0\\ 0&y \end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ Dari operasi matriks dan kesamaan matriks diatas, kita dapat beberapa persamaan, diantaranya $\begin{align} 18-2x+0 &= 0 \\ 18 &= 2x \\ 9 &=x \\ \hline 31-5x+y &=0 \\ 31-45+y &=0 \\ -14+y &=0 \\ y &=14 \\ \hline x+y &= 23 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 23$3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 2 & 0 \end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$; dan $A+B=C$. Invers matriks $C$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{5} \\ -1 & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} \\ -1 & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan$C=A+B$ $C=\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ $C=\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{52-51}\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -5 & 5 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -5 & 5 \end{pmatrix}$ $C^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix} -3 & a\\ b & -2 \end{pmatrix}$; $C=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$; dan $D=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $A^{T}$ adalah transpose matriks $A$, nilai $2a+\frac{1}{2}b$ yang memenuhi persamaan $2A^{T}-B=CD$ adalah... $\begin{align} A\ & 3 \\ B\ & 7 \\ C\ & 12 \\ D\ & 17 \\ E\ & 31 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$CD=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ $CD= \begin{pmatrix} 1-1+-3-2 & 12+-31\\ 4-1+2-2 & 42+21 \end{pmatrix}$ $CD= \begin{pmatrix} -1+6 & 2-3\\ -4-4 & 8+2 \end{pmatrix}$ $CD= \begin{pmatrix} 5 & -1\\ -8 & 10 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=2\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 & a\\ b & -2 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 & a\\ b & -2 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=\begin{pmatrix} 5 & 4-a\\ 6-b & 10 \end{pmatrix}$ $2A^{T}-B=CD$ $\begin{pmatrix} 5 & 4-a\\ 6-b & 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -1\\ -8 & 10 \end{pmatrix}$ Dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh $4-a=-1$, $a=5$ dan $6-b=-8$, $b=14$. Nilai $2a+\frac{1}{2}b$ $ \begin{align} 2a+\frac{1}{2}b & = 25+\frac{1}{2}14 \\ & = 10+7 \\ & = 17 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 17$5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $C=AB$, invers matriks $C$ adalah $C^{-1}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{10} \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{30} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan$C=AB$ $C=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ $C=\begin{pmatrix} 9 & -1\\ 15 & -5 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{9-5-15-1}\begin{pmatrix} -5 & 1\\ -15 & 9 \end{pmatrix}$ $C^{-1}=\frac{1}{-30}\begin{pmatrix} -5 & 1\\ -15 & 9 \end{pmatrix}$ $C^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \end{pmatrix}$6. Soal UNBK Matematika IPA 2018 *Soal LengkapAgen perjalanan "Lombok Menawan" menawarkan paket perjalanan wisata seperti tabel di bawah ini - Paket I Paket II Sewa Hotel 56 Tempat Wisata 4 5 Biaya Total Bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya sewa hotel tiap malam dan biaya satu tempat wisata adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -6\\ -4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 6\\ 4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 & 5\\ 5 & -6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif PembahasanDengan memisalkan Sewa Hotel=$x$ dan Tempat Wisata=$y$, maka tabel diatas jika kita sajikan dalam bentuk matriks, kurang lebih seperti berikut ini; $5x+4y= $6x+5y= $\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$ Untuk mendapatkan nilai $x$ dan $y$ dalam persamaan matriks, kita coba gunakan invers matriks; $\begin{align} A \cdot X & = B \\ A^{-1} \cdot A \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\ I \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\ X & = A^{-1} \cdot B \\ \end{align} $ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\frac{1}{55-64}\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -6 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -6\\ -4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 *Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} a & 1\\ b & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} a & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ dan $AB=\begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix}$. maka nilai $ab$ adalah... $\begin{align} A\ & 9 \\ B\ & 10 \\ C\ & 12 \\ D\ & 14 \\ E\ & 16 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} AB & = \begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & 1\\ b & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a^{2}+1 & a\\ ab+2 & b \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 10 & a\\ 14 & b \end{pmatrix} \\ ab+2 & = 14 \\ ab & = 12 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 12$8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 *Soal LengkapDiketahui $A=\begin{pmatrix} a & -3\\ 1 & d \end{pmatrix}$, Jika $A=A^{-1}$, nilai $a-d$ adalah... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & 2 \\ D\ & 3 \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{pmatrix} a & -3\\ 1 & d \end{pmatrix}=\dfrac{1}{ad+3}\begin{pmatrix} d & 3\\ -1 & a \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} a & -3\\ 1 & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{d}{ad+3} & \dfrac{3}{ad+3}\\ \dfrac{-1}{ad+3} & \dfrac{a}{ad+3} \end{pmatrix}$ Kesimpulan yang bisa kita ambil dari kesamaan matriks diatas adalah... $ \begin{align} \dfrac{-1}{ad+3} & = 1 \\ -1 & = ad+3 \\ ad & = -1-3=-4 \end{align} $ $ \begin{align} a & = \dfrac{d}{ad+3} \\ a & = \dfrac{d}{-4+3} \\ a & = -d \\ ad & = -4 \\ -dd & = -4 \\ -d^{2} & = -4 \\ d & = \pm \sqrt{4} =\pm 2 \end{align} $ Untuk $d=2$ maka $a=-2$ Untuk $d=-2$ maka $a=2$ Nilai $a-d=2-2=4$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 4$9. Soal SIMAK UI 2009 Kode 931 *Soal LengkapDiketahui $l$ adalah garis yang dinyatakan oleh $detA=0$ dimana $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $3,4$ adalah... $\begin{align} A\ & x+y-7=0 \\ B\ & x-y+7=0 \\ C\ & x-y+1=0 \\ D\ & x+y-1=0 \\ E\ & x+y+1=0 \end{align}$ Alternatif PembahasanUntuk mendapatkan persamaan garis $l$ kita mulai dengan menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya adalah nol. $0=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} 1 & 1\\ x & y\\ 2 & 1 \end{matrix}\right$ Persamaan garis $l$ adalah $1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1-2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3=0$ $3y+2+2x-4y+1+3x=0$ $ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$ $ 1-y-x=0$ $ 1-x=y$ Persamaan garis yang sejajar $m_{1}=m_{2}$ dengan garis $l$ melalui $3,4$ adalah $\begin{align} m & = -1 \\ y-y_{1} & = mx-x_{1} \\ y-4 & = -1x-3 \\ y-4 & = -x+3 \\ y & = -x+7 \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $A\ x+y-7=0$ 10. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 *Soal LengkapDiketahui $P=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ adalah $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah... $\begin{align} A\ & 6x+y-20=0 \\ B\ & 2x-3y-6=0 \\ C\ & 3x-2y-4=0 \\ D\ & x-6y+16=0 \\ E\ & 6x-y-16=0 \end{align}$ Alternatif PembahasanUnsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis adalah sebuah titik dan gradien, $m=k=PQ$ $\begin{align} m & = PQ \\ & = \left \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \\ & = \begin{vmatrix} -1 & -4\\ 0 & -6 \end{vmatrix} \\ & = 6-0=6 \end{align}$ Titik $A$ $\begin{array}{cccc} 2x-y = 4 & \times 2 \\ 3x-2y = 5 & \times 1 \\ \hline 4x-2y = 8 & \\ 3x-2y = 5 & - \\ \hline x = 3 & \\ 3x-2y = 5 & \\ 33-2y = 5 & \\ y = 2 \end{array} $ Persamaan garis melalui $A3,2$ dengan $m=6$ $\begin{align} y-y_{1} & = mx-x_{1} \\ y-2 & = 6x-3 \\ y & = 6x-18+2 \\ y & = 6x-16 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 6x-y-16=0$ 11. Soal UM UGM 2014 Kode 522 *Soal LengkapNilai semua $x$ sehingga matriks $\begin{pmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{pmatrix}$, mempunyai invers adalah... $\begin{align} A\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\ B\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ C\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ D\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ E\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align}$ Alternatif PembahasanAgar sebuah matriks $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$ $\begin{align} \begin{vmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\ 4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\ 3x^{2} & \neq 4 \\ x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\ x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align}$ Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{fx}$ mempunyai nilai real adalah $fx \geq 0$. Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$. Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini; $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$12. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 *Soal LengkapJika matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix}$, $b \neq 0$ dan $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ memenuhi $A \cdot A=A+I$, maka $b^{2}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{5}{4} \\ B\ & \dfrac{3}{2} \\ C\ & \dfrac{7}{4} \\ D\ & 2 \\ E\ & \dfrac{9}{4} \\ \end{align}$ Alternatif PembahasanKarena matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $A \cdot A=A+I$ sehingga berlaku $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a^{2}+b^{2} & ab+ab\\ ab+ab & a^{2}+b^{2}\\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a+1 & b\\ b & a+1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a^{2}+b^{2} & 2ab \\ 2ab & a^{2}+b^{2}\\ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} a+1 & b\\ b & a+1 \end{pmatrix} \\ \hline 2ab & = b \\ a & = \dfrac{b}{2b} = \dfrac{1}{2} \\ a^{2}+b^{2} & = a+1 \\ b^{2} & = a+1-a^{2} \\ & = \dfrac{1}{2}+1-\left \dfrac{1}{2} \right ^{2} \\ & = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \dfrac{5}{4}$13. Soal SBMPTN 2014 Kode 643 *Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{pmatrix}$ dan $AB=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, maka nilai $z-x$ adalah... $\begin{align} A\ & 6 \\ B\ & 3 \\ C\ & 0 \\ D\ & -3 \\ E\ & -6 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1-1+0 & -x -y+0\\ 1+1+0 & -x+y+2z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & -x -y \\ 2 & -x+y+2z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\begin{array}{cccc} -x-y=2 & \\ -x+y+2z = 4 & + \\ \hline -2x+2z = 6 & \\ -x+z = 3 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 3$14. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 *Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ dengan $x \neq \dfrac{1}{2}$, maka nilai $\dfrac{1}{2}x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -4 \\ B\ & -2 \\ C\ & 0 \\ D\ & 2 \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif PembahasanKita mengetahui sifat perkalian matriks yaitu jika $A=B^{-1} \cdot C$ maka $BA=C$. $\begin{align} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2y+x \\ -y+x^{2} \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $2y+x=4$ sehingga $ y+\dfrac{1}{2}x=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 2$15. Soal SBMPTN 2014 Kode 601 *Soal LengkapJika $P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} x & y \\ -z & z \end{pmatrix}=2P^{-1}$ dengan $P^{-1}$ menyatakan invers matriks $P$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & 2 \\ D\ & 3 \\ E\ & 4 \end{align}$ Alternatif PembahasanInvers sebuah matriks $A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ $\begin{align} P & = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ P^{-1} & = \frac{1}{13-21}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} x & y \\ -z & z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\dfrac{1}{2}x=3$ dan $\dfrac{1}{2}y=-2$ sehingga $x+y=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 2$ 16. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 *Soal LengkapJika $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B$ memiliki invers, dan $ \left AB^{-1} \right^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ maka matriks $B=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -5 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif PembahasanSifat perkalian invers pada matriks berlaku $AB^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$. $\begin{align} \left AB^{-1} \right^{-1} & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ B \cdot A^{-1} & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ B \cdot A^{-1} \cdot A & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot A \\ B & = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2+1 & 3-1 \\ 6+0 & 9+0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$17. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, dan $B= \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & 3 \end{pmatrix}$. Jika determinan $AB$ adalah $10$, maka $xy=\cdots$ $\begin{align} A\ & 4 \\ B\ & 6 \\ C\ & 8 \\ D\ & 10 \\ E\ & 12 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} AB & = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+2x & y+6 \\ 3+4x & 3y+12 \end{pmatrix} \\ AB & = \begin{vmatrix} 1+2x & y+6 \\ 3+4x & 3y+12 \end{vmatrix} \\ 10 & = 1+2x3y+12-y+63+4x \\ 10 & = 3y+12+6xy+24x -3y-4xy-18-24x \\ 10 & = 2xy -6 \\ 10+6 & = 2xy \\ 8 & = xy \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 8$18. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 *Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} a & b \\ b & 2a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ x+y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dengan $b^{2} \neq 2a^{2}$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} \begin{pmatrix} a & b \\ b & 2a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ x+y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} ax+bx+by \\ bx+2ax+2ay \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\begin{array}{cccc} ax+bx+by=a & \times b\\ bx+2ax+2ay=b & \times a \\ \hline abx+b^{2}x+b^{2}y=ab & \\ abx+2a^{2}x+2a^{2}y=ab & - \\ \hline b^{2}x+b^{2}y-2a^{2}x+2a^{2}y=0 \\ \left b^{2} -2a^{2} \right x+ \left b^{2} -2a^{2} \righty=0 \\ \left b^{2} -2a^{2} \right \left x+y \right =0 \\ \left x+y \right = \dfrac{0}{\left b^{2} -2a^{2} \right} \\ \left x+y \right = 0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 0$ 19. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 *Soal LengkapJika matriks $A=\begin{pmatrix} 2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -8 & 7 \end{pmatrix}$ memenuhi $A+B=C^{t}$ dengan $C^{t}$ transpose matriks $C$, maka $2x+3y=\cdots$ $\begin{align} A\ & 3 \\ B\ & 4 \\ C\ & 5 \\ D\ & 6 \\ E\ & 7 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} A+B &= C^{t} \\ \begin{pmatrix} 2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2x+9 & -2+3x \\ x+8 & 3y-2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x+8=6$ sehingga $x=-2$ $3y-2=7$ sehingga $y=3$ $2x+3y=2-2+33=-4+9=5$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 5$20. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 *Soal LengkapJumlah semua entri pada matriks $X$ dari sistem persamaan berikut adalah... $3X-2Y=\begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix}$ $2X-5Y=\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$ $\begin{align} A\ & \dfrac{13}{11} \\ B\ & \dfrac{9}{11} \\ C\ & \dfrac{8}{11} \\ D\ & \dfrac{5}{11} \\ E\ & \dfrac{4}{11} \end{align}$ Alternatif PembahasanMatriks $X$ dan $Y$ adalah matriks berordo $1 \times 2$ karena hasil pengurangan matriks tersebut adalah sebuah matriks berordo $1 \times 2$. Sehingga dapat kita misalkan $X=\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}$ dan $Y=\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix}$ $\begin{align} 3X-2Y &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix} \\ 3\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3a-2c & 3b-2d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \end{bmatrix} \\ \hline 2X-5Y &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \\ 2\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}-5\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 2a-5c & 2b-5d \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh$3a-2c=3$ dan $2a-5c=1$ $3b-2d=-1$ dan $2b-5d=2$ $\begin{array}{cccc} 3a-2c=3 & 3b-2d=-1 & \times 5 \\ 2a-5c=1 & 2b-5d=2 & \times 2 \\ \hline 15a-10c=15 & 15b-10d=-5 & \\ 4a-10c=2 & 4b-10d=4 & - \\ \hline 11a =13 & 11b =-9 & \\ a =\dfrac{13}{11} & b =\dfrac{-9}{11} \end{array} $ Jumlah semua entri pada matriks $X$ adalah $a+b=\dfrac{4}{11}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \dfrac{4}{11}$ 21. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 *Soal LengkapDiberikan matriks $A,\ B,\ C,\ \text{dan}\ D$ berikut ini. $A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$; $B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$; $C=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$; $D=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Jika $x,\ y,\ z,\ \text{dan}\ w$ secara berurutan adalah jumlah entri-entri pada matriks $A^{2013},\ B^{2013},\ C^{2013},\ \text{dan}\ D^{2013}$, pernyataan-pernyataan berikut yang BENAR adalah... $\begin{align} 1\ & w-1=y^{2013} \\ 2\ & z=3y^{2012} \\ 3\ & 4z=3x \\ 4\ & 2w-x=2 \end{align}$ Alternatif PembahasanSebagai tahap awal kita coba uji nilai untuk $A^{2}$ dan $A^{3}$ $\begin{align} A^{2} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=8\\ A^{3} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=16 \\ A^{4} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{4}\begin{bmatrix} 16 & 15 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=32 \\ x &= 2^{2013+1} \\ \hline B^{2} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=2 \\ B^{3} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=2 \\ y &= 2 \\ \hline C^{2} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=6 \\ C^{3} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=12 \\ C^{4} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} 16 & 8 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=24 \\ z &= 2^{2013-1} \cdot 3 \\ \hline D^{2} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=5 \\ D^{3} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=9 \\ D^{4} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=17 \\ w &= 2^{2013}+1 \\ \end{align}$ Dari nilai $x=2^{2014},\ y=2,\ z=3 \cdot 2^{2012},\ \text{dan}\ w=1+2^{2013}$ yang kita peroleh di atas, maka dapat kita simpulkan $1\ w-1=y^{2013}$ Benar $2\ z=3y^{2012}$ Benar $3\ 4z=3x$ Benar $4\ 2w-x=2$ Benar $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \text{BENAR}$22. Soal UM UNPAD 2009Apabila transpose dari matriks $X=\left \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right $ sama dengan invers dari $X$, maka nilai dari determinan $X$ yang mungkin adalah... $\begin{align} A\ & 1\ \text{atau}\ -1 \\ B\ & \sqrt{2}\ \text{atau}\ -\sqrt{2} \\ C\ & \sqrt{3}\ \text{atau}\ 1 \\ D\ & \sqrt{2}\ \text{atau}\ -1 \\ E\ & 0\ \text{atau}\ \sqrt{3} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$\begin{align} X &= \left \begin{matrix} 2008 & 2009 \\ x & y \end{matrix} \right \\ \left X \right &= 2008y-2009x \end{align}$ Seperti yang disampaikan pada soal bahwa jika matriks $X$ kita transpose-kan akan sama dengan invers matriks $X$ atau dapat kita tuliskan menjadi $X^{t}=X^{-1}$. Berdasarkan sifat determinan matriks $ \left A^{t} \right = \left A \right$ dan $ \left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right}$ dapat kita simpulkan $\begin{align} X^{-1} &= X^{T} \\ \left X^{-1} \right &= \left X^{T} \right \\ \dfrac{1}{\left X \right} &= \left X \right \\ \dfrac{1}{\left 2008y-2009x \right} &= \left 2008y-2009x \right \\ 1 &= \left 2008y-2009x \right^{2} \\ \pm 1 &= 2008y-2009x \\ \pm 1 &= \left X \right \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 1\ \text{atau}\ -1$23. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapMatriks $B$ adalah invers matriks $A$, matriks $D$ adalah invers matriks $C$ dan $A \cdot B \cdot C=D$, maka yang merupakan matriks identitas $I$ adalah... $\begin{align} A\ & A^{2} \\ B\ & B^{2} \\ C\ & C^{2} \\ D\ & A \cdot D^{2} \\ E\ & A \cdot C^{2} \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang invers matriks dapat membantu; $ A^{-1}^{-1} = A $ $ A^{-1} . A = = I $ $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $ $ AB^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $ Dari apa yang disampaikan pada soal, dapat kita simpulkan bahwa $ B= A^{-1}$ maka $ B^{-1}=A$ $ D= C^{-1}$ maka $ D^{-1}=C$ $\begin{align} A \cdot B \cdot C & =D \\ A \cdot A^{-1} \cdot C & = C^{-1} \\ I \cdot C & = C^{-1} \\ C & = C^{-1} \\ C \cdot C & = C^{-1} \cdot C\\ C^{2} &= I \end{align}$ $\begin{align} A \cdot B \cdot C & =D \\ B^{-1} \cdot B \cdot C & = D \\ I \cdot D^{-1} & = D \\ D^{-1} & = D \\ D^{-1} \cdot D & = D \cdot D\\ I & = D^{2} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ C^{2}$24. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapJika $\begin{pmatrix} a-b & -b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix}$ maka $ab=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 1 \\ C\ & -\dfrac{1}{2} \\ D\ & -1 \\ E\ & -4 \end{align}$ Alternatif PembahasanCatatan calon guru tentang invers matriks $2 \times 2$ berikut ini mungkin membantu; Misalkan matriks $ A = \left \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right $ $detA = A = $$ a \times d - b\times c $ invers matriks $A$ adalah $ A^{-1} = \frac{1}{A} \left \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right $ $\begin{align} \begin{pmatrix} a-b & -b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} & =\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{a-b-0} \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & a-b \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} \dfrac{1}{ a-b } & \dfrac{b}{ a-b } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} a & 1 \\ -a+2b & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $-a+2b=0$ sehingga $a=2b$ $\dfrac{1}{ a-b }=a$ sehingga $\dfrac{1}{ 2b-b }=a$ $\dfrac{1}{ b }=a$ $1=ab$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 1$25. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapJika matriks $M$ berordo $2 \times 2$ sehingga $M \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ dan $M \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan $ \begin{align} AB & = \left \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right \left \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right \\ & = \left \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right \\ & = \left \begin{matrix} & + \\ + & + \end{matrix} \right \end{align} $ Kita coba dengan memisalkan matriks $M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\begin{align} M \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a-b \\ c-d \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \hline M \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+b \\ 2c+d \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh; $\begin{array}{cccc} a-b = -1 & c-d = 5 & \\ 2a+b = 4 & 2c+d = 7 & + \\ \hline 3a = 3 & 3c = 12 \\ a = 1 & c = 4 \\ b = 2 & d = -1 \end{array} $ $M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ maka $M^{2}=\begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ 26. Soal UM STIS 2011 *Soal LengkapDiketahui matriks $A =\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{pmatrix}$. Jika $B^{T}$ adalah transpose dari matriks $B$, maka nilai $c$ yang memenuhi $A=2B^{T}$ adalah... $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 3 \\ C\ & 5 \\ D\ & 8 \\ E\ & 10 \end{align}$ Alternatif PembahasanJika $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka $A^{T} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ $\begin{align} A & = 2B^{T} \\ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix} & = 2 \begin{pmatrix} 2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2b & 3c \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4c-6b & 2a \\ 4a+2 & 2b+14 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh;$2= 4c-6b$ $4=2a$ maka $a=2$ $2b=4a+2$ maka $2b=8+2 $, $b=5$ $3c=2b+14$ maka $3c=10+14$, $c=8$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 8$27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 *Soal LengkapDiketahui persamaan matriks $\begin{pmatrix} a & b\\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 12\\ 14 & -5 \end{pmatrix}$. Nilai $2a-b=\cdots$ $\begin{align} A\ & 18 \\ B\ & 16 \\ C\ & 14 \\ D\ & 10 \\ E\ & 6 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada soal perkalian matriks di atas, maka berlaku $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b\\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & -2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 8 & 12\\ 14 & -5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+4b & a-2b\\ 2+12 & 1-6 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 8 & 12\\ 14 & -5 \end{pmatrix} \end{align} $ $\begin{array}{cccc} 2a+4b = 8 & \times 1 \\ a-2b = 12 & \times 2 \\ \hline 2a+4b = 8 & \\ 2a-4b = 24 & +\\ \hline 4a=32 \\ a=8 \\ b=-2 \end{array} $ Nilai $2a-b=28-2=18$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 18$ 28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ dan berlaku persamaan $A^{2}+B=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$. Determinan matriks $A^{4}$ adalah... $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 4 \\ D\ & 16 \\ E\ & 81 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas, maka berlaku $\begin{align} A^{2}+B &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-B \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}\\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3-1 & -2+4\\ 4-5 & -1+2 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ \left A^{2} \right &=21-12=4 \\ \end{align} $ Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left A^{n} \right = \left A \right ^{n}$ maka $\begin{align} \left A^{4} \right &= \left A^{2} \right^{2} \\ &= 4^{2} =16 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 16$29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan $B=\begin{pmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Jika $B-A=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ maka $det \left 2A^{-1} \right$ adalah... $\begin{align} A\ & -4 \\ B\ & -2 \\ C\ & -1 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada pengurangan matriks soal di atas, maka berlaku $\begin{align} B-A &=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ B-\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix} -1 & 3\\ 0 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix} -1-2 & 3-1\\ 0-1 & 2-0 \end{pmatrix} &= A \\ \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} &= A \\ -32-14 &= \left A \right \\ -2 &= \left A \right \end{align} $ Dengan mengunakan sifat determinan matriks $\left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right }$ dan $ k \times A_{m\times m} = k^m \times A $maka $\begin{align} \left 2 A^{-1} \right &= 2^{2} \cdot \left A^{-1} \right \\ &= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left A \right } \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\ &= -2 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -2$30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A$ berordo $2 \times 2$ dan matriks $B=\begin{pmatrix} -3 & 5\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 2 & 3 \end{pmatrix}$. Jika $A$ memenuhi $B \cdot A=C$ maka determinan dari $\left 2A^{-1} \right$ adalah... $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & -\dfrac{1}{2} \\ D\ & \dfrac{1}{2} \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada perkalian matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ \leftA \cdot B \right = \leftA \right \cdot \left B \right$ dan $ k \times A_{m\times m} = k^m \times A$, maka berlaku $\begin{align} \leftB \right &= \begin{vmatrix} -3 & 5\\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\ &= -32-15=-1 \\ \leftC \right &= \begin{vmatrix} 4 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix} \\ &= 43-52=2 \\ \hline B \cdot A &=C \\ \leftB \cdot A \right &= \left C \right \\ \leftB \right \cdot \left A \right &= \left C \right \\ -1 \cdot \left A \right &= 2 \\ \left A \right &= -2 \\ \hline \left 2 A^{-1} \right &= 2^{2} \cdot \left A^{-1} \right \\ &= 2^{2} \cdot \dfrac{1}{\left A \right } \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{-2} \\ &= -2 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -2$ 31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} -7 & 2\\ 0 & 4 \end{pmatrix}$. Jika matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dan memenuhi persamaan $A^{3}+B=C$, maka determinan matriks $3 A^{-1}$ adalah... $\begin{align} A\ & -3 \\ B\ & -2 \\ C\ & -1 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif PembahasanBerdasarkan informasi pada penjumlahan matriks soal di atas dan menggunakan sifat determinan matriks yaitu $ k \times A_{m\times m} = k^m \times A$, maka berlaku $\begin{align} A^{3}+B &= C \\ A^{3} &= C-B \\ &= \begin{pmatrix} -7 & 2\\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -7-2 & 2-1\\ 0+3 & 4-2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -9 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \\ \hline \left A^{3} \right &= -92-33 \\ \left A \right^{3} &= -27 \\ \left A \right &= -3 \\ \hline \left 3 A^{-1} \right &= 3^{2} \cdot \left A^{-1} \right \\ &= 9 \cdot \dfrac{1}{-3} \\ &= -3 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -3$32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ mempunyai hubungan dengan matriks $B=\begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$. Matriks $C=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}$ dan matriks $D$ mempunyai hubungan yang serupa dengan $A$ dan $B$. Bentuk $C+D=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -2 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & -5 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} -3 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif PembahasanHubungan matriks $\begin{align} A & \Leftrightarrow B \\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix} \end{align} $ Jika kita perhatikan hubungan kedua matriks di atas adalah unsur-unsur pada diagonal utama bertukar tempat lalu dikalikan dengan $-1$ dan unsur-unsur pada diagonal samping bertukar tempat. $\begin{align} C & \Leftrightarrow D \\ \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ \hline C + D &= \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix}$33. Soal UNBK Matematika IPS 2019 *Soal LengkapSuatu perusahaan konveksi memproduksi tiga model pakaian. Lama waktu pemotongan, penjahitan, dan finishing setiap potong pakaian disajikan dalam tabel berikut. Lama Waktu Potong Jahit Finishing Model A 0,1 0,3 0,1 Model B 0,1 0,2 0,2 Model C 0,3 0,4 0,1 Jumlah waktu yang tersedia di bagian pemotongan, penjahitan dan finishing disajikan dalam tabel berikut. Pemotongan 68 Penjahitan 116 FinishingB 51 Jika banyak model pakaian yang akan diproduksi untuk model $A,\ B,\ \text{dan}\ C$ berturut-turut $x,\ y,\ \text{dan}\ z$, persamaan matriks yang sesuai untuk masalah tersebut adalah... $ \begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 & 1160 & 510 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 68 \\ 116 \\ 51 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif PembahasanJika tabel pada soal kita gabungkan kurang lebih seperti berikut ini Lama Waktu Potong Jahit Finishing Model A $x$ 0,1 0,3 0,1 Model B $y$ 0,1 0,2 0,2 Model C $z$ 0,3 0,4 0,1 Total Waktu 68 116 51 Dari tabel di atas dapat kita ambil kesimpulan Waktu Pemotongan $0,1x+0,1y+0,3z=68$ $ x+ y+3z=680$ Waktu Penjahitan $0,3x+0,2y+0,4z=116$ $ 3x+ 2y+ 4z=1160$ Waktu Finishing $0,1x+0,2y+0,1z=116$ $ x+ 2y+ z=510$ Ketiga persamaan yang kita dapat di atas adalah persamaan linear tiga variabel, dimana jika penulisan kita rubah dalam bentuk matrks menjadi $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix}$ Untuk membuktikan penulisan matriks di atas benar atau salah dapat dicoba dengan mencoba mengalikan matriks. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 680 \\ 1160 \\ 510 \end{pmatrix}$34. Soal UNBK Matematika IPS 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 7 & -9 \\ 10 & -2 \end{pmatrix}$ memenuhi persamaan $X=A+2B-C^{T}$, dengan $C^{T}$ merupakan transpose matriks $C$. Invers matriks $X$ adalah... $ \begin{align} A\ & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \\ B\ & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \\ C\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} \\ D\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \\ E\ & \dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -6 & -3 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$ \begin{align} X = & A+2B-C^{T} \\ = & \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -9 & -2 \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6 & 14 \\ -4 & -8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -9 & -2 \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 4+6-7 & -2+14-10 \\ 1-4+9 & 5-8+2 \end{pmatrix} \\ = & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$ $ \begin{align} X^{-1} = & \dfrac{1}{3-1-2-6} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \\ = & \dfrac{1}{-3-12} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \\ = & -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -\dfrac{1}{15} \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ 35. Soal UNBK Matematika IPS 2019 *Soal LengkapDiketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 4x-y & -2 \\ z & 4 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 2 & y+2 \\ 1 & z-x \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 4 & 8 \\ -10 & 10 \end{pmatrix}$ dan $C^{T}$ adalah transpose matriks $C$. Jika $3A-B=C^{T}$, nilai dari $-3x+y+5z$ adalah... $ \begin{align} A\ & 8 \\ B\ & 10 \\ C\ & 14 \\ D\ & 16 \\ E\ & 20 \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan$ \begin{align} C^{T} = & 3A-B \\ \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = & 3\begin{pmatrix} 4x-y & -2 \\ z & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & y+2 \\ 1 & z-x \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = & \begin{pmatrix} 12x-3y & -6 \\ 3z & 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & y+2 \\ 1 & z-x \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 4 & -10 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = & \begin{pmatrix} 12x-3y-2 & -6-y-2 \\ 3z-1 & 12-z+x \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matrks di atas kita peroleh$-6-y-2=-10$ sehingga $y=2$ $3z-1=8$ sehingga $z=3$ $12-z+x=10$ sehingga $x=1$ Nilai $-3x+y+5z$ adalah $-31+2+53=-3+2+15=14$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 14$ 36. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 *Soal LengkapDiketahui $A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Jika $A+tB$ merupakan matriks singular, nilai $t^{2}+3t+2$ adalah... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & 1 \\ C\ & 2 \\ D\ & 3 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan$ \begin{align} A+tB &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -t & 2t\\ t & t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{pmatrix} \\ 0&= \begin{vmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{vmatrix} \\ 0&= \left 1-t^{2}\right-\left4+6t+2t^{2}\right \\ 0&= -3t^{2}-6t-3 \\ 0&= t^{2}+2t+1 \\ 0&= \leftt+1 \right^{2} \\ & t=-1 \\ t^{2}+3t+2 &= -1^{2}+3-1+2 \\ &= 0 \\ \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 0$ 37. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Jika $M$ matriks berordo $2 \times 2$ dan $M\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix}$, maka matriks $M^{2}$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 9 & 4\\ 1 & 25 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 27 & -4\\ -2 & 11 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 25 & -4\\ -2 & 15 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 27 & -8 \\ -4 & 15 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh $\begin{align} M\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \\ M\ &= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}^{-1} \\ M\ &= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{23-41} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \\ M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 14 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \\ M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -23+1-4 & -2-1+12\\ 143+10-4 & 14-1+102 \end{pmatrix} \\ M\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -10 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \\ M\ &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ M^{2}\ &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5-5+21 & -52+23\\ 1-5+31 & 12+33 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 27 & -4 \\ -2 & 11 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \begin{pmatrix} 27 & -4\\ -2 & 11 \end{pmatrix}$ 38. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Hasil kali matriks $A\ \begin{pmatrix} 5 & -3\\ 0 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix}$. Matriks $A$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} -1 & -1\\ 4 & 7 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 7 & -1 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 4 & -2\\ 7 & -1 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 7 & 2\\ -1 & 4 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$, maka kita peroleh $\begin{align} A\ \begin{pmatrix} 5 & -3\\ 0 & 6 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \\ A\ &= \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}^{-1} \\ A\ &= \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{56-0-3}\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix} -10 & 30\\ 35 & -27 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix} -106+300 & -103+305\\ 356+-270 & 353+-275 \end{pmatrix} \\ A\ &= \dfrac{1}{30} \cdot \begin{pmatrix} -60 & 120 \\ 210 & -30 \end{pmatrix} \\ A\ &= \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 7 & -1 \end{pmatrix}$ 39. Soal SPMB 2007 Kode 741 *Soal Lengkap Jika matriks $X$ memenuhi $\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\ X=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. maka invers dari matriks $X$ adalah $X^{-1}=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 3 & 0 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1 & 6\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} -1 & 0\\ -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & 1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan sifat matriks $A \cdot B=C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$, maka kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\ X &= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \dfrac{1}{20+13} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ X &= \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 02+-30 & 01+-33\\ -12+20 & -11+23 \end{pmatrix} \\ X &= \dfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -9 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} \\ X &= \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -\frac{2}{3} & -\frac{5}{3} \end{pmatrix} \\ X^{-1} &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{5}{3} & 3 \\ \frac{2}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -\frac{5}{6} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & 1\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix}$ 40. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Jika $\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka $p+q+r+s=\cdots$ $\begin{align} A\ & -5 \\ B\ & -4 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+2+0 & -1+0+0 \\ -3-1+4 & 3+0+2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \end{align}$ Nilai $p+q+r+s$ adalah $-2+1+0-4=-5$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -5$ 41. Soal SIMAK UI 2009 kode 921 *Soal LengkapJika $B=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ dan $\leftBA^{-1} \right^{-1} =\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$, maka matriks $A=\cdots$ $\begin{align} A\ & \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \\ B\ & \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \\ C\ & \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ D\ & \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 10 & 13 \end{bmatrix} \\ E\ & \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat invers matriks $\left A \cdot B \right^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$ dan $\left A^{-1} \right^{-1}=A$ dapat kita peroleh $\begin{align} \leftBA^{-1} \right^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ \leftA^{-1} \right^{-1} \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \\ A \cdot B^{-1} \cdot B &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot B \\ A &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \\ A &= \begin{bmatrix} 23+1-2 & 2-1+11 \\ 43+3-2 & 4-1+31 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}$ 42. Soal SIMAK UI 2010 kode 205 *Soal Lengkap Diketahui $AX=B$, $BC=D$. Jika $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -5 \end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $D=\begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$, maka $X$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 41 & -19 \end{bmatrix} \\ B\ & \begin{bmatrix} 33 & 54 \\ 19 & 31 \end{bmatrix} \\ C\ & \begin{bmatrix} -33 & 19 \\ 54 & -31 \end{bmatrix} \\ D\ & \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ E\ & \begin{bmatrix} -41 & -2 \\ 19 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $A=C \cdot B^{-1}$ dapat kita peroleh $\begin{align} AX &= B \\ AX &= D \cdot C^{-1} \\ X &= A^{-1} \cdot D \cdot C^{-1} \\ &= \dfrac{1}{ -5-6} \cdot \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \dfrac{1}{3-2} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -57+-25 & -52+-21 \\ 37+15 & 32+11 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -45 & -12 \\ 26 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ \begin{bmatrix} -33 & 54 \\ 19 & -31 \end{bmatrix}$ 43. Soal SIMAK UI 2012 kode 223 *Soal LengkapJika persamaan matriks $D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1}=A$, $A \neq 0$, maka pernyataan tersebut setara dengan... $\begin{align} 1\ & BD=CD \\ 2\ & B=C \\ 3\ & ABD=ACD \\ 4\ & B^{-1}-C^{-1}=DA \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat distributif dan $ A \cdot A^{-1} =I$ dapat kita peroleh $\begin{align} D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1} &= A \\ D^{-1} \left B^{-1}- C^{-1} \right &= A \\ D \cdot D^{-1} \left B^{-1}- C^{-1} \right &= D \cdot A \\ I \cdot \left B^{-1}- C^{-1} \right &= D \cdot A \\ B^{-1}- C^{-1} &= D \cdot A \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 4\ B^{-1}-C^{-1}=DA$ 44. Soal SNMPTN 2010 Kode 326 *Soal Lengkap Jika $M$ adalah matriks sehingga $M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{pmatrix}$ maka determinan matriks $M$ adalah... $\begin{align} A\ & -3 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks $AB=C\ \rightarrow \left A \right \left B \right= \left C \right $ $\left A^{T} \right = \left A \right $ $\left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right} $ Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh $\begin{align} M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{pmatrix} \\ \left M \right \times \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix} a & b \\ a-c & b-d \end{vmatrix} \\ \left M \right \times \left ad-bc \right &= \left ab-bd-ab-bc \right \\ \left M \right &= \dfrac{\left ab-bd-ab+bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= \dfrac{\left -bd +bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= \dfrac{-\left bd-bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= -1 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ -1$ 45. Soal SNMPTN 2010 Kode 774 *Soal Lengkap Jika $M$ adalah matriks sehingga $M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix}$ maka determinan matriks $M$ adalah... $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sebagai catatan beberapa sifat determinan matriks $AB=C\ \rightarrow \left A \right \left B \right= \left C \right $ $\left A^{T} \right = \left A \right $ $\left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right} $ Dengan menggunakan beberapa sifat determinan matriks di atas pada soal, dapat kita peroleh $\begin{align} M \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{pmatrix} \\ \left M \right \times \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\ &= \begin{vmatrix} a+c & b+d \\ -c & -d \end{vmatrix} \\ \left M \right \times \left ad-bc \right &= \left -ad-cd-bc-cd \right \\ \left M \right &= \dfrac{\left -ad-cd+bc+cd \right}{\left ad-bc \right} \\ &= \dfrac{\left -ad +bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= \dfrac{-\left ad-bc \right}{\left ad-bc \right} \\ &= -1 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -1$ 46. Soal SPMB 2004 Regional I *Soal Lengkap Jika matriks $A=\begin{pmatrix} a & 1-a\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ maka nilai $b$ adalah... $\begin{align} A\ & -1 \\ B\ & -\dfrac{1}{2} \\ C\ & 0 \\ D\ & \dfrac{1}{2} \\ E\ & 1 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan $\begin{align} A &= \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^{-1} &=\dfrac{1}{a1-1-a0} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{a} \begin{pmatrix} 1 & -1+a\\ 0 & a \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & \frac{-1+a}{a}\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\dfrac{1}{a}=2$ sehingga $a=\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{-1+a}{a}=b$ sehingga $b=\dfrac{-1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ -1$ 47. Soal SPMB 2004 Regional III *Soal Lengkap Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix}$ memenuhi $AB=C$, maka $\left a-b \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2 \\ B\ & 3 \\ C\ & 4 \\ D\ & 5 \\ E\ & 6 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian pada matriks karena $AB=C$, maka dapat kita peroleh $\begin{align} AB &= C \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+11 \\ -2a+31 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2a+1 \\ -2a+ 3 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 11 \\ 1-4b \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $2a+1=11$ sehingga $a= 5$ $-2a+3=1-4b$ sehingga $ b=\dfrac{2a-2}{4}=\dfrac{8}{4}=2$ $\left a-b \right=\left 5-2 \right=3$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 3$ 48. Soal SPMB 2004 Regional III *Soal Lengkap Transpos dari matriks $P$ adalah $P^{T}$. Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ memenuhi $A^{-1}B^{T}=C$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan invers matriks dan perkalian pada matriks, maka dapat kita peroleh $\begin{align} A^{-1}B^{T} &= C \\ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 & 1 \end{pmatrix}^{T} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{23-17}\begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 24+-71 \\ -14+31 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=-1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=0$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 0$ 49. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Jika $I$ matriks satuan dan matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}=pA+qI$ maka $p+q$ sama dengan... $\begin{align} A\ & 15 \\ B\ & 10 \\ C\ & 5 \\ D\ & -5 \\ E\ & -10 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh $\begin{align} A^{2} &= pA+qI \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} &= p\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}+q\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 22+1-4 & 21+13 \\ -42+3-4 & -41+33 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2p & p \\ -4p & 3p \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} q & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -20 & 5 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2p+q & p \\ -4p & 3p+q \end{pmatrix} \\ \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $p=5$ $2p+q=0$ sehingga $q=-2p=-10$ $p+q=5-10=-5$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ -5$ 50. Soal UM UGM 2004 *Soal Lengkap Bila $A=\begin{pmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{pmatrix}$, $0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ dan determinan $A$ sama dengan $1$ maka $x$ adalah... $\begin{align} A\ & 0 \\ B\ & \dfrac{\pi}{6} \\ C\ & \dfrac{\pi}{4} \\ D\ & \dfrac{\pi}{3} \\ E\ & \dfrac{\pi}{6}\ \text{dan} \dfrac{\pi}{2} \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan trigonometri sudut istimewa dan bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ akan kita perlukan. $\begin{align} \left A \right &= 1 \\ \begin{vmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= sin^{2}x+cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x &= cos\ x \\ \dfrac{sin\ x}{cos\ x} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ tan\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ x &= \dfrac{\pi}{6} \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \dfrac{\pi}{6}$ 51. Soal SPMB 2005 Regional III *Soal Lengkap Jika $det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix}=det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$, maka $x=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1\ \text{atau}\ 2 \\ B\ & 1\ \text{atau}\ 3 \\ C\ & 2\ \text{atau}\ 3 \\ D\ & -1\ \text{atau}\ 2 \\ E\ & -2\ \text{atau}\ 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan determinan matriks maka dapat kita peroleh $\begin{align} det \begin{pmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{pmatrix} &= det \begin{pmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} x & -3 \\ 1 & 2x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} x & 1 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} \\ 2x^{2}+3 &= 8x-3 \\ 2x^{2}-8x+6 &= 0 \\ 2x-3x-1 &= 0 \\ x=3\ \text{atau}\ x=1 & \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 1\ \text{atau}\ 3$ 52. Soal SPMB 2005 Regional I *Soal Lengkap Jika $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $ \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$, $p \neq q$, $p \neq 0$, dan $q \neq 0$ maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p & -q \\ -q & p \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} pp+-qq \\ -qp+pq \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{p^{2}-q^{2}} \cdot \begin{pmatrix} p^{2}-q^{2} \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=0$ sehingga $x+y=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 1$ 53. Soal UM UGM 2005 Kode 621 *Soal Lengkap Matriks $\begin{pmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{pmatrix}$ tidak mempunyai invers untuk nilai $x=\cdots$ $\begin{align} A\ & -1\ \text{atau}\ -2 \\ B\ & -1\ \text{atau}\ 0 \\ C\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\ D\ & -1\ \text{atau}\ 2 \\ E\ & 1\ \text{atau}\ 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan syarat sebuah matriks tidak mempunyai invers jika determinan sama dengan nol atau $\left A \right = 0$, maka dapat kita tuliskan. $\begin{align} \begin{vmatrix} x & 1 \\ -2 & 1-x \end{vmatrix} & = 0 \\ x1-x-1-2 & = 0 \\ x-x^{2}+2 & = 0 \\ x^{2}-x-2 & = 0 \\ \leftx-2 \right\leftx+1 \right & = 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ -1\ \text{atau}\ 2$ 54. Soal SPMB 2005 Regional II *Soal Lengkap Agar matriks $ \begin{pmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{pmatrix}$, mempunyai invers, syaratnya adalah... $\begin{align} A\ & p \neq 0 \\ B\ & q \neq 0 \\ C\ & pq \neq 0 \\ D\ & p \neq 1\ \text{dan}\ p \neq -1 \\ E\ & q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan syarat sebuah matriks mempunyai invers jika determinan tidak sama dengan nol atau $\left A \right \neq 0$, maka dapat kita tuliskan. $\begin{align} \begin{vmatrix} p-1 & p+q \\ p-q & p+1 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ p-1p+1-p-qp+q & \neq 0 \\ p^{2}-1- \leftp^{2}-q^{2} \right & \neq 0 \\ p^{2}-1- p^{2}+q^{2} & \neq 0 \\ -1 +q^{2} & \neq 0 \\ q^{2}-1 & \neq 0 \\ \left q+1 \right\leftq-1 \right & \neq 0 \\ q \neq -1\ \text{atau}\ q \neq 1 & \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ q \neq 1\ \text{dan}\ q \neq -1$ 55. Soal SPMB 2005 Kode 772 Regional I *Soal Lengkap Jika sistem persamaan linear $\left\{\begin{matrix} 2x-3y=p \\ 3x+2y=q \end{matrix}\right.$ dan $x=\dfrac{a}{det \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}}$ maka $a=\cdots$ $\begin{align} A\ & 2p+3q \\ B\ & 2p-3q \\ C\ & 3p+2q \\ D\ & 3p-2q \\ E\ & -3p+2q \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear dua variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi, maka kita peroleh $\begin{array}{cccc} 2x-3y=p & \times 2\\ 3x+2y=q & \times 3 \\ \hline 4x-6y=2p & \\ 9x+6y=3q & + \\ \hline 13x =2p+3q \\ x =\dfrac{2p+3q}{13} \end{array} $ Nilai $x$ di atas kita substitusi ke persamaan yang diketahui pada soal, sehingga kita peroleh $\begin{align} x &= \dfrac{a}{det \begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}} \\ \dfrac{2p+3q}{13} &= \dfrac{a}{4+9} \\ \hline a & = 2p+3q \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ 2p+3q$ 56. Soal SPMB 2005 Kode 171 Regional III *Soal Lengkap Jika $P=\begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix}$ dan $P^{-1}$ adalah invers dari $P$, maka $\leftP^{-1} \right^{2}$ sama dengan matriks $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 1+2x & -2x \\ 2x & 1-2x \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 2x & 1-2x \\ 1+2x & -2x \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1-2x & 2x \\ -2x & 1+2x \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 1+2x & 2x \\ -2x & 1-2x \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$, maka dapat kita tuliskan $\begin{align} P &= \begin{pmatrix} 1+x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix} \\ P^{-1} &=\dfrac{1}{1+x1-x-xx} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{pmatrix} \\ \leftP^{-1} \right^{2} &= \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-x & -x\\ x & 1+x \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-x^{2}-x^{2} & 1-x-x-x1+x \\ x1-x + x1+x & -x^{2}+1+x^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x+x^{2}-x^{2} & -x+x^{2}-x-x^{2} \\ x-x^{2} + x+x^{2} & -x^{2}+1^{2}+2x+x^{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{bmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ \begin{pmatrix} 1-2x & -2x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix}$ 57. Soal UM UGM 2005 Kode 821 *Soal Lengkap Jika $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} $ dan $\alpha$ suatu konstanta maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Elemen matriks $A$ mengandung unsur trigonometri sehingga catatan identitas trigonomteri sedikit kita butuhkan salah satunya bentuk $sin^{2}x+cos^{2}x=1$. Dari persamaan $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix}$, dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix}^{-1}\\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \\ \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin\ \alpha & cos\ \alpha \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} sin\ \alpha & -cos\ \alpha \\ -cos\ \alpha & sin\ \alpha \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha & -sin\ \alpha\ cos\ \alpha + sin\ \alpha\ cos\ \alpha \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh nilai $x+y=1+0=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 1$ 58. Soal SPMB 2006 Kode 111 Regional I *Soal Lengkap Jika konstanta $k$ memenuhi persamaan $ \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}$, maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & \left 2+k \right\left 1+k \right \\ B\ & \left 2-k \right\left 1+k \right \\ C\ & \left 2-k \right\left 1-k \right \\ D\ & \left 1+k \right\left 1-k \right \\ E\ & \left 1-k \right\left 2+k \right \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{k0-11} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -k \\ -1 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 00+-1k \\ -10+kk \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} &= -1 \cdot \begin{pmatrix} -k \\ k^{2} \end{pmatrix} \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x-1=k$ sehingga $x=k+1$ $y-1=-k^{2}$ sehingga $y=1-k^{2}$ $x+y$ adalah $-k^{2}+k+2=-k-2k+1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \left 2-k \right\left 1+k \right$ 59. Soal SPMB 2006 Kode 411 Regional I *Soal Lengkap Jika $A= \begin{pmatrix} a & b \\ b & x \end{pmatrix}$, $B= \begin{pmatrix} bx & a \\ b & x \end{pmatrix}$ maka jumlah kuadrat semua akar persamaan $det\ A=det\ B$ adalah... $\begin{align} A\ & \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2\left a-b \right \\ B\ & \left \dfrac{b}{a} \right^{2}-2\left a-b \right \\ C\ & \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2\left b-a \right \\ D\ & \left \dfrac{b}{a} \right^{2}-2\left b-a \right \\ E\ & \dfrac{b}{a}-2\left b-a \right \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas kita pinjam catatan persamaan kuadrat yaitu untuk $ax^{2}+bx+c=0$ yang akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $ x_{1} + x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}$ Jumlah kuadrat akar-akar adalah $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ $\begin{align} det\ A &= det\ B \\ \begin{vmatrix} a & b \\ b & x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} bx & a \\ b & x \end{vmatrix} \\ ax-b^{2} &= bx^{2}-ab \\ ax-b^{2}-bx^{2}+ab &= 0 \\ bx^{2}-ax+b^{2}-ab &= 0 \\ \hline x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left x_{1}+x_{2} \right^{2}-2x_{1}\cdot x_{2} \\ &= \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2 \left \dfrac{b^{2}-ab}{b} \right \\ &= \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2 \left \dfrac{b b-a}{b} \right \\ &= \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2 \left b-a \right \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ \left \dfrac{a}{b} \right^{2}-2\left b-a \right$ 60. Soal SPMB 2006 Kode 310 Regional II *Soal Lengkap Jika $x=1$, $y=-1$, $z=2$ adalah solusi sistem persamaan linear $\begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} $ maka nilai $a^{2}-bc=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk mendapatkan nilai $x$ dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat kita gunakan eliminasi atau substitusi, maka kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b & -3 \\ -2 & -b & c \\ a & 3 & -c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a-b-6 \\ -2+b+2c \\ a-3-2c \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $\begin{array}{cccc} a-b-6=-3 & \\ -2+b+2c=-1 & \\ a-3-2c=-3 & \\ \hline a-b= 3 & \cdots 1 \\ b+2c= 1 & \cdots 2 \\ a -2c=0 + & \cdots 3 \\ \hline 2a=4 & \\ a=2 \end{array} $ Untuk $a=2$ kita peroleh $b=-1$ dan $c=1$. Sehingga nilai $a^{2}-bc=2^{2}-11=5$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 5$ 61. Soal SPMB 2006 Kode 510 Regional III *Soal Lengkap Jika $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix}$ dimana $B$ adalah transpose dari matriks $A$, maka $x^{2}+\left x+y \right+\left x y \right+y^{2}=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Kita ketahui bahwa untuk matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka transpose matriks $A$ adalah $A^{T}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. Untuk matriks $A=\begin{pmatrix} x+y & x \\ -1 & x-y \end{pmatrix}$ maka $A^{T}=\begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix}$. $\begin{align} A^{T} &= B \\ \begin{pmatrix} x+y & 1 \\ x & x-y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2}x \\ -2y & 3 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $-1=\dfrac{1}{2}x$ sehingga $x=2$ $x=-2y$ sehingga $y=-1$ $\begin{align} & x^{2}+\left x+y \right+\left x y \right+y^{2} \\ & = \left 2 \right^{2}+\left 2-1 \right+\left 2 \right\left -1 \right+\left -1 \right^{2} \\ & = 4+1-2+1 \\ & =4 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ 4$ 62. Soal UM UGM 2006 Kode 381 *Soal Lengkap Apabila $x$ dan $y$ memenuhi persamaan matriks $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} $ maka $x+y=\cdots$ $\begin{align} A\ & 1 \\ B\ & 2 \\ C\ & 3 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan bantuan sifat matriks $ A \cdot B =C$ maka $B=A^{-1} \cdot C$ dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{13-2-1} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3-1+22 \\ 1-1+12 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $x=1$ dan $y=1$ sehingga $x+y=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 2$ 63. Soal SPMB 2007 Kode 341 *Soal Lengkap Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka determinan dari matriks $\left A+B \right^{2}$ adalah... $\begin{align} A\ & -3 \\ B\ & -2 \\ C\ & 0 \\ D\ & 2 \\ E\ & 3 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dan determinan matriks $\left A^{n} \right=\left A \right^{n}$ dapat kita peroleh $\begin{align} \left \left A+B \right^{2} \right &= \left \left \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right^{2} \right \\ &= \left \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} ^{2} \right \\ &= \left \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} \right^{2} \\ &= \left 15-15 \right^{2}=0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $C\ 0$ 64. Soal SPMB 2007 Kode 541 *Soal Lengkap Pada matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}$, jika bilangan positif $1,a,c$ membentuk barisan geometri berjumlah $13$ dan bilangan positif $1,b,c$ membentuk barisan aritmatika, maka $det\ A=\cdots$ $\begin{align} A\ & 17 \\ B\ & 6 \\ C\ & -1 \\ D\ & -6 \\ E\ & -22 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Untuk menyelesaikan soal di atas, silahkan di simak catatan tentang Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri. Dari barisan geometri $1,a,c$ berjumlah $13$ berlaku $\begin{align} u_{2}^{2} &= u_{1} \cdot u_{3} \\ a^{2} &= 1 \cdot c \\ a^{2} &= c \\ \hline 1+a+c &= 13 \\ c &= 12-a \\ \hline a^{2} &= 12-a \\ a^{2} +a -12 &= 0 \\ a+4a-3 &= 0 \\ a=3 & \\ c=9 & \end{align}$ Dari barisan aritmatika $1,b,c$ berlaku $\begin{align} 2u_{2} &= u_{1} + u_{3} \\ 2b &= 1 + c \\ 2b &= 1 + 9 \\ b &= 5 \end{align}$ Determinan matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ adalah $9-15=-6$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $D\ -6$ 65. Soal SPMB 2007 Kode 441 *Soal Lengkap Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ sehingga $A^{2}-2A+I$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 0 \end{pmatrix} \\ B\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \\ C\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} \\ D\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 13 & 1 \end{pmatrix} \\ E\ & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan aturan perkalian matriks dapat kita peroleh $\begin{align} &A^{2}-2A+I \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}^{2}-2\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 22+04 & 20+01 \\ 42+14 & 40+11 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4-4+1 & 0 -0+0 \\ 12-8+0 & 1-2+1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ 66. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 *Soal Lengkap Diketahui invers matriks $A$ adalah $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ Matriks $x$ yang memenuhi hubungan $AX=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$ adalah... $\begin{align} A\ & \begin{bmatrix} 2 & 14 \\ 1 & 25 \\ 4 & 13 \end{bmatrix} \\ B\ & \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 1 & -4 \\ 4 & -12 \end{bmatrix} \\ C\ & \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix} \\ D\ & \begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -7 & -4 & -12 \end{bmatrix} \\ E\ & \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 14 & 25 & 13 \end{bmatrix} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan salah satu sifat matriks $A \cdot A^{-1} = I$, sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} AX &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ A^{-1} \cdot AX &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ I \cdot X &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} 12+01+20 & 1-1+00+2-3 \\ 12+21+10 & 1-1+20+1-3 \\ 32+51+30 & 3-1+50+3-3 \\ \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C\ \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -4 \\ 11 & -12 \end{bmatrix}$ 67. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 *Soal Lengkap Diberikan dua buah matriks $M=\begin{bmatrix} a+b & a \\ b & a-b \end{bmatrix}$ dan $N=\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix}$. Jika $M^{t}=N$, dengan $M^{t}$ menyatakan transpose matriks $M$, maka nilai $a$ adalah... $\begin{align} A\ & -2 \\ B\ & -1 \\ C\ & 0 \\ D\ & 1 \\ E\ & 2 \end{align}$ Alternatif Pembahasan Dengan menggunakan persamaan $M^{t}=N$ ke matriks $M$ dan $N$, sehingga dapat kita peroleh. $\begin{align} M^{t} & = N \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a+b & b \\ a & a-b \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}a \\ -2b & 3 \end{bmatrix} \\ \hline a+b & = 1 \\ a-b & = 3 \\ \hline 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $E\ 2$ 68. Soal UM UGM 2019 Kode 634 *Soal Lengkap Jika $A=\begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ dan $k$ merupakan skalar sehingga $A+kA^{T}=\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix}$ maka $x+y+z=\cdots$ $\begin{align} A\ & 3 \\ B\ & 4 \\ C\ & 5 \\ D\ & 6 \\ E\ & 7 \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} A+kA^{T} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & z \end{pmatrix}+k \begin{pmatrix} 1 & y \\ x & z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1+k & x+ky \\ y+kx & z+kz \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -7 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan dua matriks di atas kita peroleh $1+k=-1$ sehingga $k=-2$. $z+kz=-2$ sehingga $z-2z=-2 \rightarrow z=2$. $\begin{array}{cccc} x+ky = 5 & x-2y = 5 \\ y+kx = -7 & y-2x = -7 \\ \hline 2x-4y = 10 & \\ y-2x = -7 &+ \\ \hline -3y = 3 & \\ y = -1 & x = 3 \end{array} $ Nilai $x+y+z=3-1+2=4$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $B\ 4$ 69. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 *Soal Lengkap Diberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left D^{T}-B \right=m$ dan $det \left C \right=n$, maka $det \left 2A^{-1} \right=\cdots$ $\begin{align} A\ & \dfrac{4}{mn} \\ B\ & \dfrac{mn}{4} \\ C\ & \dfrac{4m}{n} \\ D\ & 4mn \\ E\ & \dfrac{m+n}{4} \end{align}$ Alternatif Pembahasan Sedikit catatan, terkait sifat determinan matriks $AB=C\ \rightarrow \left A \right \left B \right= \left C \right $ $\left A^{T} \right = \left A \right $ $\left A^{-1} \right = \dfrac{1}{\left A \right} $ $\left A \pm B \right^{T} = A^{T} \pm B^{T} $ $ k \times A_{m\times m} = k^m \times A$ Dari $det \left D^{T}-B \right=m$ dan $det \left C \right=n$ maka dapat kita peroleh $\begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left A \right &= \left C \left D - B^{T} \right \right \\ \left A \right &= \left C \right \cdot \left \left D - B^{T} \right \right \\ \left A \right &= n \cdot \left \left D^{T} - B \right^{T} \right \\ \left A \right &= n \cdot m \\ \hline \left 2A^{-1} \right &= 2^{2} \cdot \left A^{-1} \right \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left A \right} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $A\ \dfrac{4}{mn}$ 70. Soal UM UGM 2019 Kode 934 *Soal Lengkap Jika $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, maka determinan dari $A^{T} A+BB^{T}$ adalah... $\begin{align} A\ & -5 \\ B\ & -4 \\ C\ & 0 \\ D\ & 4 \\ E\ & 5 \end{align}$ Alternatif Pembahasan $\begin{align} A^{T} A+BB^{T} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \\ \left A^{T} A+BB^{T} \right &= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \\ &= 310-55 \\ &= 30-25 =5 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $E\ 5$ 71. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 *Soal Lengkap Matriks $A$ memiliki invers $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan memenuhi $A \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ untuk suatu bilangan real $c$ dan $d$. Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar? kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ Alternatif Pembahasan Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh $\begin{align} A \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ A^{-1} \cdot A \cdot \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= A^{-1} \cdot\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ I \cdot \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3-c \\ 4+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2c-d \\ 2c+d \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh $\begin{align} 4+d &= 2c+d \\ 4 &= 2c\ \longrightarrow c=2 \\ \hline 3-c &= 2c-d \\ d &= 2c+c-3 \\ d &= 32-3= 3 \end{align}$ Nilai kuantitas $P=d-c=3-2=1$ dan $Q=1$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ 72. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 *Soal Lengkap Matriks $F$ memiliki invers $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dan memenuhi $\begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix}=F \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ untuk suatu bilangan real $m$ dan $n$. Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar? kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ Alternatif Pembahasan Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= F \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ F^{-1} \cdot \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= F^{-1} \cdot F \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & n \\ 4 & m \end{pmatrix} &= I \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -5+8 & n+2m \\ -5+4 & n+m \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 & n+2m \\ -1 & n+m \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align}$ Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh $\begin{align} n+m &= 0 \\ n &= -m \\ \hline n+2m &= 1 \\ -m+2m &= 1 \\ m &= 1\ \longrightarrow n=-1 \end{align}$ Nilai kuantitas $P=2m-n=21-1=3$ dan $Q=3$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ 73. Soal TPS - UTBK SBMPTN 2022 *Soal Lengkap Matriks $\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ merupakan invers matriks $B$ dan memenuhi $\begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix}=3B$ untuk suatu bilangan real $x$ dan $y$. Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar? kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$ kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ Alternatif Pembahasan Dari informasi matriks yang diberikan di atas, dapat kita peroleh $\begin{align} B &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \\ B &= \dfrac{1}{-51-2-3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \\ B &= \dfrac{1}{-5+6} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari persamaan matriks pada soal dapat kita peroleh $\begin{align} \begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix} &=3B \\ \begin{pmatrix} x & -9 \\ 2+y & -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & y \\ 2x & -3 \end{pmatrix} &=3\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x+1 & -9+y \\ 2+y+2x & -15 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & -15 \end{pmatrix} \end{align}$ Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh $\begin{align} x+1 &= 3 \\ x &= 2 \\ \hline -9+y &= -6 \\ y &= 3 \end{align}$ Nilai kuantitas $P=3x-2y=32-23=0$ dan $Q=0$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $C$ kuantitas $P$ sama dengan $Q$ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa dari Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks di atas adalah coretan kreatif siswa pada lembar jawaban penilaian harian matematika, lembar jawaban penilaian akhir semester matematika, presentasi hasil diskusi matematika atau pembahasan quiz matematika di kelas. Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 60+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Matriks silahkan disampaikan Ÿ™ CMIIWŸ˜Š. Jangan Lupa Untuk Berbagi Ÿ™ Share is Caring Ÿ€ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLEŸ˜Š

bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya hotel